Distribución poisson
Ejercicios resueltos de distribución poisson, usando tablas
de Excel.
Esta distribución es una de las más importantes
distribuciones de variable discreta. Sus principales funciones hacen referencia
a la modernización de situaciones a las que nos interesa determinar el número
de hechos de cierto tipo que se puede producir en un intervalo de tiempo, área,
intervalo, bajo supuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias, otro de sus
usos frecuentes es la consideración de lincontronicos reiterados un gran nuero
de veces y la probabilidad de obtener un éxito es muy pequeña.
Esta distribución se puede hacer derivada de un proceso experimental de observaciones en el que tengamos las
siguientes características:
-
En este tipo de experimentos los éxitos buscados son
expresados por unidad de área, tiempos,
espacios, pieza, etc.
-
Si n>20 y p≤ 0.05; si n≥100, la aproximación a poisson es
generalmente excelente a condición que np≤10.
-
Numero de defectos de una tela por
p(x;λ)=lambda 2 por e – lambda x= 0,1,2,3...
Dónde: p(x;λ) es igual
a la probabilidad que ocurren x éxitos cuando el numero promedio de ocurrencia
de ellos el λ
= a la media o promedio de éxitos por unidad de tiempo área o producto (λ=np) e
= 2.718
La función de distribución dada por p p(x;λ) -
Las tablas de poisson tienen una estructura de la forma siguiente
|
x
|
λ=5,5
|
λ=6.0
|
λ=6,5
|
λ=7,0
|
|||
|
0
|
0.0041
|
0.0025
|
0.0015
|
0.0009
|
|||
|
1
|
0.0225
|
0.0149
|
0.0098
|
0.0064
|
|||
|
2
|
0.0618
|
0.0446
|
0.0318
|
0.0223
|
|||
|
3
|
0.1133
|
0.0892
|
0.0688
|
0.0521
|
|||
|
4
|
0.1558
|
0.1339
|
0.1118
|
0.09112
|
|||
|
5
|
0.17714
|
0.1606
|
0.1454
|
0.1277
|
|||
|
6
|
0.1571
|
0.1606
|
0.1575
|
0.1490
|
|||
|
7
|
0.1234
|
0.1377
|
0.1462
|
0.1490
|
|||
|
8
|
0.0849
|
0.1033
|
0.1188
|
0.1304
|
|||
Puede observarse que en la primera columna aparecen los
valores de x en las columnas restantes los valores de lambda correspondiendo
una probabilidad para cada x con su respectiva lambda p.
Por ejemplo. Si estamos interesados en encontrar la
probabilidad poisson de x=5 y para
lambda =97 obtenemos una probabilidad de p =(x=5: λ=7.0)=0.1277
Usando Excel la función poisson se debe ubicar en una celda bacía y escribir
= poisson.distr el software le mostrara las distribuciones existentes mientras
está escribiendo. Puede observar que entre paréntesis aparecen tres parámetros
x: aquí debe escribir el número de éxitos que desea obtener.
Media: es el valor de lambda.
Acumulado: verdadero o falso ( si es verdadero: la
distribución calcula el valor desde x hasta 0; si escribe falso la distribución
solo calcula el valor puntual de x .
Poisson. Distr (5, 7,0.falso)=0.12771667
Ejemplo 1
Una empresa electrónica observa que el número de componentes
que falla antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable de
aleatoria de poisson.
Si el promedio de estos fallos es de 8;
Cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25
horas.
Y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas.
Cuál es la probabilidad de que fallen por lómenos 10 en 125
horas.
Solución: usando tablas de estadística de poisson sea la
variable aleatoria x con una distribución con parámetro lambda λ= [x=a8 que determina el número de componentes que
fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento.
Considerando que se cumplen ciertas condiciones de
irregularidad podemos asumir que una variable 2 que mide el número de
componentes que fallan antes de cumplir 25 horas de funcionamiento sigue una
distribución de poisson con un parámetro λ z λz=2 por lo tanto la probabilidad
deseada es:2 p(z)=1;λ=2)=0.2707
2.- análogamente definimos una variable aleatoria U con la distribución de poisson de
parámetro λ
U=4 que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir 50 horas
de funcionamiento.
P(U
2;λ=4)= 0.0813+0.0733+0.1465= 0.2381
3.- de la misma forma definiendo una variable aleatoria V con
distribución de poisson de parámetro λ V= 10
P(V≥10;λ=10) =1-P( V<10;λ=10)= 1-[0.0000+0.0005+0.0023+0.0076+0.0189+0.0378+0.0613+0.0901+0.1126+0.1251]=0.5420
Solución usando Excel.
1.
P (2=1; λ=2) = poisson. Dist. (1, 2, falso) = 0.2707
2. P (V, 52; λ=4) = Poisson. Distri (2,4,verdadero)= 0.2381
3.
P (V≥10 ; λ=10)= 1-P(V<10;λ=(0)=1- poisson. Distri(19,10, verdadero)= 0.54207
Ejemplo 2
Un ingeniero elevara en el departamento de calidad de una
empresa eléctrica inspecciona una muestra al azar de 10 alternadores de un
lote. Si el 20% de los alternadores de lote están defectuosos. Cuál es la probabilidad
de que muestra.
a) Ninguno
este defectuoso
b) Uno salga
defectuoso
c) Amenos dos
salgan defectuosos
d) Más de tres
estén con defectos
e) No más de
tres estén con defectos
Solución usando Excel
a) P
(x=0)b=(x=0;n=10,p=0.2)=0.1074
b) P
(x=1)b=(x=1;n=10,p=0.2)= 0.2684
c) P (x=2)
=b-p(x≤1)=1-b(x≤1;n=10,p=0-2)=1-[0.1074+0.2684]=0.6242
d) P (x≥3)=1-p(x≤2)= 1-b(x≤2;n=10,p=0.2)=1-[0.1074+0.2184+0.3020]=0.3222
e) P (x≤3) =b(x≤3;n=10;p=0.2)=
0.1074+0.2684+0.3020+0.2013= 0.8791
Solución usando Excel
a) Distri.binom.n(0,10,0.20,
falso)= 0.1734
b) Distri.binom.n(1,10,0.20,
falso)= 0.2684
c) 1-Distri.binom.n(
2,10,0.20,verdadero)= 0.6242
d) 1-
Distri.binom.n(2,10,0.20,verdadero)=0.3222
e) Distri.binom.n(3,10,0.20,verdadero)=0.8791
Ejemplo 3
La contaminación constituye un problema en la fabricación de
discos de almacenamiento óptico. El número de partículas de contaminación que
ocurren en un disco óptico tiene una distribución de poisson y el numero
promedio de partículas por (cm cuadrado)
De superficie del disco es 0.1. El área de un disco bajo
estudio es 100
a) Encuentre la probabilidad de que ocurran 12
partículas en el área del disco bajo estudio.
b) La probabilidad de que ocurran 0 partículas en
el área del disco bajo estudio.
c) Determinen la
probabilidad de que 12 o menos partículas ocurran en el área del disco bajo
estudio.
Solución
λ=np=100
(0.1) partículas
10 particular
Usando las tablas de
estadística de poisson
a) P(x=12;λ=10)=0.0948
b) P(x=0;λ=10)= 0.0
c) P(x≤12;λ=10)= 0.0+0.005+…+0.098=0.7916
Solución usando Excel
a)
P(x=12;λ=10)=
poisson.distri.(12,10.falso)=0.0948
b)
P(x=0;λ=10)=
poisson.sistri.(0.10.falso)=0.00545
c) P(x≤12;λ=10)=
poisson.distri.(12,10, verdadero)=0.7916
